Tema: Numere aproximative. Erori absolute şi erori relative

Studiind această temă, vă veţi familiariza cu:
- conceptul de număr aproximativ,
- locul numerelor aproximative în activitatea omului;
- problemele care se impun la utilizarea numerelor aproximative,
- definirea şi sensul noţiunilor de eroare absolută şi eroare relativă.
Studierea mediului înconjurător se bazează pe observaţii şi experimente,
care se realizează prin intermediul unor măsurări. Mărimile obţinute în urma măsurărilor: distanţa dintre două localităţi, rezistenţa unui conductor, masa unui corp, temperatura camerei etc. sînt aproximaţii ale unor mărimi exacte.
Afirmaţia „Distanţa dintre Chişinău şi Orhei este de 45 km" înseamnă că numărul 45 este o aproximaţie a distanţei reale S, valoare despre care se poate vorbi numai într-un context abstract. Prin urmare, în practică sîntem nevoiţi să operăm cu aproximaţii ale unor valori reale (exacte).
Aproximaţiile obţinute în urma măsurărilor sînt folosite ulterior la elaborarea modelelor numerice, iar acestea nu permit comiterea unor abateri oricît de mari de la valorile reale, pentru a nu denatura realitatea investigată. Deci apare necesitatea evaluării erorilor comise în procesul de aproximare, întrucît cunoaşterea aproximaţiilor, fără a avea informaţii suficiente despre erorile lor, nu are, sub aspect practic, nici o valoare.
Utilizarea numerelor aproximative în procesele de calcul generează inevitabil o serie întreagă de probleme care trebuie rezolvate:
- definirea caracteristicilor matematice ale preciziei aproximaţiilor;
- estimarea erorii rezultatului, fiind cunoscute erorile datelor iniţiale;
- determinarea dependenţei preciziei rezultatului de algoritmul de soluţionare a problemei etc.
În continuare examinăm prima dintre aceste probleme.
Fie x* o aproximaţie a numărului exact x. Aceasta se va nota prin x ≈ x* ("≈" - simbolul de egalitate aproximativă).
Prin eroare a aproximaţiei x* se înţelege mărimea x –x*. Dacă x*<x, se spune că x* aproximează pe x prin lipsă, iar cînd x*>x - prin adaos (de exemplu, x1=3,142 este o aproximaţie prin adaos pentru π=3,14159..., iar x2 = 3,141- prin lipsă). De regulă, numărul x –x* şi chiar semnul lui nu pot fi determinate efectiv, deoarece nu e cunoscut x. în practică este, însă, suficient să cunoaştem anumite delimitări ale modulului erorii.

Definiţie. Se numeşte eroare absolută a aproximaţiei x* orice număr pozitiv ∆ ( x* ) care satisface relaţia:  |x*-x|≤∆ (x*). (2.1.1)

            Din definiţie rezultă că eroarea absolută reprezintă o margine superioară a abateriiaproximaţiei x* de la numărul exact x:    X*-∆(x*)≤ x ≤ x* + ∆(x*).

 Ultima relaţie, pentru simplitate, deseori se scrie sub forma

x = x* ± ∆(x*).

Din (2.1.1) se mai observă că eroarea absolută ∆ (x*) nu se determină univoc. Bunăoară, dacă | x – x* | ≤ 0,16327, atunci ∆ (x*)= 0,16327 este o eroare absolută a lui x*, dar şi oricare număr mai mare ca 0,16327 (de exemplu, 0,164; 0,17; 0,2; 1), de asemenea, este eroare absolută. în practică, însă, pentru estimarea rezultatului calculat, nu e convenabil de indicat o valoare oricît de mare în calitate de ∆ (x*), dar se preferă numărul minimal, care verifică inegalitatea (2.1.1) şi conţine 1-2 cifre semnificative.
Eroarea absolută indică doar abaterea aproximaţiei de la mărimea exactă, dar nu caracterizează calitatea măsurării sau calculului. Astfel, de exemplu, dacă la măsurarea lungimilor a două bare s-au obţinut rezultatele L1=1000 cm ± 0,lcm şi L2= 10 cm ± 0,1 cm, deşi coincid erorile absolute, calitatea primei măsurări este mai înaltă decît a celei de a doua. în acest context este utilă şi următoarea noţiune de eroare.
Definiţie. Se numeşte eroare relativă a aproximaţiei x* ≠0, mărimea    δ(x*)=(∆(x*))/(|x*|)   (2.1.2)
Deci, eroarea relativă este un număr abstract, ea nu depinde de unitatea de măsură. Frecvent eroarea relativă se exprimă în procente:

δ(x*)=(∆(x*))/(|x*|)   x100%.

Revenind la exemplul de mai sus, precizăm că erorile relative ale celor două măsurări sînt 0,01%, respectiv 1%, ceea ce justifică afirmaţia că prima măsurare este mai precisă decît a doua, şi anume, de 100 de ori.
Exemplu. Fie numărul exact x∈ [32,03; 32,1]. Să se determine pentru x o aproximaţie x* , eroarea absolută  ∆( x*) şi eroarea relativă  δ(x*).

Întrebări şi exerciţii

1. Daţi exemple de numere exacte şi de numere aproximative.
2.Care sînt funcţiile erorilor în studiu în procesul de modelare?
3.Ce probleme apar la utilizarea numerelor aproximative?
4.Descrieţi diferite forme de relaţii dintre mărimile *x, ∆ (x*) şi δ (x*).
5.Lungimea L a unui segment a fost măsurată cu o riglă, a cărei valoare a diviziunii este egală cu 0,1 cm. S-a        obţinut L=23,6 cm. Găsiţi limitele de jos şi de sus ale valorii exacte L.
6.Determinaţi în procente eroarea relativă a numărului aproximativ x*, dacă valoarea exactă x=46,138 ± 0,00074.