Tema: Clasificarea erorilor

Studiind această temă, vă veţi familiariza cu:
-criteriul de bază folosit la clasificarea erorilor;
-sursele erorilor inerente;
-estimarea rezultatelor calculelor cu numere afectate de erori inerente;
-sursele erorilor de aproximare (de metodă);
-varietatea surselor erorilor de rotunjire;
-structura şi estimarea erorii totale a soluţiei unei probleme.
 În funcţie de sursele lor, erorile pot fi divizate în trei tipuri de bază:
erori inerente, erori de aproximare şi erori de rotunjire.
 Erori inerente
Definiție.Prin erori inerente se subînţeleg erorile care se produc la etapele anterioare soluţionării problemei matematice şi nicidecum nu pot fi evitate în procesul de calcul. 
Asemenea erori apar, de exemplu, în procesul modelării matematice, deoarece un model matematic este doar o aproximaţie a originalului său. Erorile inerente pot proveni, de asemenea, dintr-o serie de măsurări care se fac pentru obţinerea datelor necesare elaborării modelului matematic sau chiar a datelor de intrare pentru un program de calcul.
Dacă cunoaştem erorile datelor de intrare, atunci după regulile şi formulele stabilite putem estima eroarea rezultatului calculelor. Aceasta este, în fond, problema examinată anterior în capitolul curent.
Stabilitatea la erori a soluţiei unei probleme, în funcţie de erorile datelor de intrare, este de o mare importanţă. Să cercetăm problema în cauză prin intermediul următorului exemplu.
Exemplu. Fie funcţia

f: [0, 1]→ R,f(x)=x3 + x + 1, (2.4.1)

unde valoarea lui xϵ [0, 1] este cunoscută numai cu 2 cifre semnificative. Se cere să se determine în ce măsură calculul valorii f(x) este influenţat de imprecizia valorii lui x, adică de determinat
∆(f(x*))=|f(x) -f(x* )|.
Rezolvare. În ipoteza problemei, \x –x* \ ≤0,5-10-2 . Vom folosi (2.3.1): ∆f(x*))=\f(1)(x*)\∆ (*x).
Întrucît f(1)(x)=3x2 + 1<4 Vxe [0,1], iar A (x)=\x - x\ < 0,5-10"2, obţinem: |/(x) -/(x) | < 4-| x - x \ ≤4x( 0,5-10-2).
Definiţie. Determinarea valorii funcţiei f: I→R este o problemă stabilă la erori dacă f posedă proprietatea Lipschitz, adică dacă există o constantă L>0, astfel încît |F(x) -f(x*) | ≤ L| x – x* |

Întrebări şi exerciţii

1.Care sînt sursele erorilor inerente? Exemplificaţi.
2.Care pot fi consecinţele rezolvării unei probleme nestabile la erori?


Erori de aproximare (de metodă)
Majoritatea metodelor numerice, utilizate în practica rezolvării problemelor, teoretic necesită un număr infinit de operaţii aritmetice pentru calculul soluţiei exacte. De aceea avem aşa-numitele erori de aproximare (de metodă), care provin din limitarea doar la un număr finit de "paşi" ai unui proces de calcul infinit. Astfel de erori sînt, de regulă, acceptate în însăşi concepţia metodelor, ca urmare a unor necesităţi obiective.
La elaborarea metodelor numerice, de obicei, se stabilesc şi formule de estimare a erorilor în studiu. Ele conţin un parametru (de exemplu, pasul de discretizare), la tinderea căruia către o anumită limită eroarea metodei tinde spre zero, deci, această eroare poate fi reglementată. Este raţional ca eroarea de metodă să fie de 2-5 ori mai mică decît eroarea inerentă.
Formulele respective de estimare a erorilor de metodă vor fi studiate în capitolele următoare, la examinarea metodelor numerice concrete.

Întrebări şi exerciţii

1.Cum putem reglementa eroarea de metodă în cazul formulei (2.4.2)?
2.Fie numărul real x ϵ [0, π/2] şi numărul natural k. Scrieţi o funcţie Pascal care va calcula valoarea y=sin x după formula (2.4.2) pentru n=k. Estimaţi rezultatul obţinut, folosind funcţia standard sin(x).

Erori de rotunjire
Rotunjirea numerelor, examinată în p. 2.2, este o operaţie premeditată sau dictată de unele necesităţi obiective. În urma rotunjirii se obţin aproximaţii care sînt afectate de aşa-numitele erori de rotunjire. Astfel de erori sînt specifice proceselor de calcul, în special, celor realizate cu ajutorul calculatorului. Ele se datorează faptului că, indiferent de modalitatea de memorare, orice calculator poate reprezenta doar o submulţime finită a mulţimii numerelor raţionale. Putem avea erori de rotunjire în datele de intrare, în calcule şi în datele de ieşire.
Nici un număr iraţional (π, e,√2,...) nu poate fi reprezentat printr-un număr finit de cifre. De asemenea, unele numere raţionale nu au o reprezentare zecimală finită. De exemplu, 1/7=0,(142857) este o fracţie zecimală periodică infinită. O serie de numere, la conversia dintr-un sistem de numeraţie în altul, devin cu reprezentare infinită. De exemplu, fracţia zecimală 0,2, fiind convertită în fracţie binară, devine fracţie periodică infinită: 0,(0011). De aceea, o fracţie infinită la intrare sau cea obţinută în procesul conversiei din baza zece în baza doi (baza de lucru a calculatorului) se va rotunji pînă la cel mai apropiat număr raţional care poate fi reprezentat în memoria calculatorului.
O situaţie similară poate apărea la efectuarea pe calculator a operaţiilor aritmetice, adică este posibil că rezultatul să conţină un număr care nu poate fi reprezentat exact în memorie. în aşa caz, dacă nu va fi depăşire, rezultatul va fi de asemenea rotunjit la cel mai apropiat număr ce poate fi reprezentat pe calculator.
Ţinînd cont de faptul că în majoritatea calculatoarelor moderne numerele reale se reprezintă în formatul cu virgulă mobilă, examinăm următorul exemplu.
Exemplu. Fie numerele x=108 şi y=271, reprezentate într-o maşină ipotetică (cu baza zecimală de lucru), care foloseşte pentru reprezentarea mantisei 7 cifre semnificative şi 2 cifre pentru exponent. Atunci suma x+y= 100000271=0,10000027 109 va conduce de fapt la rezultatul x+y=0,1000003 • 109=100000300. Deci eroarea absolută comisă este egală cu 29, în timp ce eroarea relativă este egală cu 29/1000003 = 0,000029.
Aceeaşi situaţie poate fi şi la efectuarea celorlalte operaţii aritmetice.
În calculatoarele moderne numerele se pot reprezenta cu 19-20 de cifre semnificative, de aceea, într-un asemenea regim de calcul, eroarea unei singure rotunjiri, fiind 10 -19 ÷ 10-20, de regulă, este ignorabil de mică în comparaţie cu eroarea inerentă sau cea de metodă. Dar la rezolvarea problemelor complexe se execută miliarde de operaţii. Aparent, erorile iniţiale vor creşte proporţional numărului de operaţii executate şi eroarea rezultatului va fi enormă. în diversele operaţii erorile efective pot avea însă semne diferite şi se pot compensa reciproc. Conform statisticii, la execuţia a N operaţii similare media erorii sumare este de aproximativ √N ori mai mare decît eroarera rotunjirii unare, iar probabilitatea abaterii considerabile a erorii unei rotunjiri aparte de la valoarea medie este foarte mică.
Abateri esenţiale pot fi în cazul pierderilor sistematice ale exactităţii, cum ar fi la scăderea numerelor foarte apropiate (vezi p. 2.3). în majoritatea problemelor de aşa gen capcanele pot fi evitate, efectuînd calculele cu precizie dublă.
Eroarea totală
Pentru estimarea exactităţii soluţiei unei probleme este necesar de examinat întregul proces de calcul şi de ţinut cont de faptul că eroarea totală se formează prin sumarea valorilor tuturor tipurilor de erori: erori inerente, erori de metodă şi erori de rotunjire.

Întrebări şi exerciţii

1.Numiţi funcţiile limbajului Pascal, care realizează operaţia de rotunjire, respectiv trunchiere a valorii de tip real.
2.Au oare loc în limbajul Pascal următoarele egalităţi?
a) 3/5 • 5=3; b) 3/4 • 4=3; c) 9/17 • 17=9; d) 2/3 -3 =2. Argumentaţi răspunsurile.
3.Fie numerele x şi y, reprezentate într-o maşină ipotetică care foloseşte pentru reprezentarea mantisei 5 cifre semnificative şi o cifră pentru exponent. Să se determine suma x + y, produsul xy şi erorile comise de maşina dată la efectuarea operaţiilor indicate:
x=5,5555,     y=0,01001;     d) x= 12345, y=4,4 • 108;
x=66,     y=8,7654 • 107;   e) x=33,3, y=2,6058 • 10 -3;
x=1001,    y=9,7603 • 106;  f) x=22, y=7,0629 • 10 -5.